미적분 예제

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.2

$\frac{u^{3}}{2}$ 에 $\frac{u}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.5

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

단계 3.7

$\frac{u^{3}}{2}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

단계 3.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

단계 4

$u^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

단계 8

$\frac{3}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10.2.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10.2.3

$\frac{3}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

단계 10.2.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 x - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$