미적분 예제

$y = {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

단계 3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

단계 3.2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ 입니다.

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

단계 3.2.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.2

$6 - 5 x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.3

합의 법칙에 의해 $6 - 5 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 가 됩니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.4

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 에 더합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.6

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{3}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.7

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.4.9

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.5.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.5.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.6

$- 5 x^{3}$ 를 $15 x^{3}$ 에 더합니다.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.7

$\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 와 $15$ 을 묶습니다.

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

단계 3.8

$6 + 10 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

단계 3.9

간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.2

$5 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.4

항을 묶습니다.

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단계 3.9.4.1

$15$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.4.2

$10$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.4.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.4.4

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 에 $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

단계 3.9.4.5

지수를 더하여 ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ 에 ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.9.4.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

단계 3.9.4.5.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

단계 3.9.4.6

$90 + 150 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $25$ 이동하기

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

단계 3.9.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 3.9.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.9.6.1

$90 + 150 x^{3}$ 에서 $30$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.9.6.1.1

$90$ 에서 $30$ 를 인수분해합니다.

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 3.9.6.1.2

$150 x^{3}$ 에서 $30$ 를 인수분해합니다.

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 3.9.6.1.3

$30 (3) + 30 (5 x^{3})$ 에서 $30$ 를 인수분해합니다.

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 3.9.6.2

$30$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$