미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - x} d x$

단계 1

$x^{2} + 1$ 을 $x^{2} - x$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 1.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	-	$x$	+	$0$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} - x + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	-	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	+	$x$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

단계 1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - x} d x$

단계 4

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{2} - x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 1}{x \cdot x - x}$

단계 4.1.1.2

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 1}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

단계 4.1.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x + 1}{x (x - 1)}$

단계 4.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

단계 4.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x - 1)$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.5.2

$x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$x + 1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.1.2

$A (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + 1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$x + 1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$x + 1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

단계 4.1.6.5.2

$(B) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + 1 = A x - A + (B) (x)$

$x + 1 = A x - A + B x$

단계 4.1.7

$- A$ 를 옮깁니다.

$x + 1 = A x + B x - A$

단계 4.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 4.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A$

단계 4.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

$1 = A + B$

$1 = - 1 A$

단계 4.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$1 = - 1 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$- 1 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 A = 1$

$1 = A + B$

단계 4.3.1.2

$- 1 A = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

$- 1 A = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

단계 4.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

단계 4.3.1.2.2.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$1 = A + B$

단계 4.3.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

$A = - 1$

$1 = A + B$

단계 4.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- 1$ 로 바꿉니다.

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

단계 4.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

단계 4.3.3

$1 = - 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$- 1 + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

단계 4.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

단계 4.3.3.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

단계 4.3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = 2 A = - 1$

단계 4.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = 2, A = - 1$

단계 4.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1}$

단계 4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x + C + \int - \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C + \int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 7

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

단계 8

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

단계 9

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 9.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 9.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 9.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$x + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x - \ln (| x |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$