미적분 예제

$\int (\frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int \frac{16}{x^{6}} - \frac{9}{x^{- 3}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분자로 이동합니다.

$\int \frac{16}{x^{6}} - (9 x^{3}) + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 2.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{16}{x^{6}} - 9 x^{3} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{16}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 4

$16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 \int \frac{1}{x^{6}} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$x^{6}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$16 \int {(x^{6})}^{- 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2

${(x^{6})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 \int x^{6 \cdot - 1} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 5.2.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 \int x^{- 6} d x + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 가 됩니다.

$16 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{- 5}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$16 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 7.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int - 9 x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 8

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 \int x^{3} d x + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 10

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

단계 11.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

단계 11.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

단계 11.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$16 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) - 9 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 4 \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

단계 13.3

간단히 합니다.

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단계 13.3.1

$4$ 와 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{4 (3 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

단계 13.3.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

단계 13.3.3

$12 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2} + C$

단계 13.3.4

공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 (1)} + C$

단계 13.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{2 (6 x^{\frac{2}{3}})}{2 \cdot 1} + C$

단계 13.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}}}{1} + C$

단계 13.3.4.4

$6 x^{\frac{2}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9 x^{4}}{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{16}{5 x^{5}} - \frac{9}{4} x^{4} + 6 x^{\frac{2}{3}} + C$