미적분 예제

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{27}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = 9 x^{2} + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x^{2} + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $9 x^{2} + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.7

$\frac{3}{2}$ 와 ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

단계 3.8

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{27}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.9

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.10

$3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.11

공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

단계 3.12

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.13

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.14

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.15

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.16

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

단계 3.17

항을 간단히 합니다.

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단계 3.17.1

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

단계 3.17.2

$18$ 와 $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ 을 묶습니다.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

단계 3.17.3

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

단계 3.17.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

단계 3.17.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.17.5.1

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

단계 3.17.5.2

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$