미적분 예제

$y = \frac{x}{x + y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2.2

$x + y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.2.2

$x + y - x - x y'$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.2.2.2

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.4

$- x y'$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.5

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.6

$- (x y') - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.7

$- (x y' - y)$ 을 $- 1 (x y' - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 ${(x + y)}^{2}$ 을 곱합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

${(x + y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

단계 5.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

단계 5.2.1.3

$- - y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

단계 5.2.1.3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

단계 5.2.1.4

$x$ 를 옮깁니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 1 y'$ 을 $- y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

단계 5.3.2

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

방정식의 양변에 $y' x$ 를 더합니다.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

단계 5.3.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ 을 $(x + y) (x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (x + y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.3.1.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.3.2

$x y$ 를 $y x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.3.2.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.3.2.2

$x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.2.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

단계 5.3.3

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y' x^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.2

$2 y' x y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.3

$y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.4

$y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.5

$y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.6

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

단계 5.3.3.7

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

단계 5.3.4

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

단계 5.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

단계 5.3.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$