미적분 예제

$\ln (x^{2} (x + 1))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} (x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} (x + 1)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

단계 3.6

$x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

단계 4.4.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

단계 4.4.8

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

단계 4.5

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

단계 4.6

$x^{3} + x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

단계 4.6.2

$1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

단계 4.6.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

단계 4.7

$3 x^{2} + 2 x$ 에 $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

단계 4.8

$3 x^{2} + 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

단계 4.8.2

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

단계 4.8.3

$x (3 x) + x \cdot 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

단계 4.9

공약수로 약분합니다.

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단계 4.9.1

$x^{2} (x + 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

단계 4.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

단계 4.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$