미적분 예제

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 로 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 3

지수를 더하여 $x^{2} + y^{2}$ 에 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{2} + y^{2}$ 에 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2} + y^{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

단계 3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

단계 3.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 5.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 9.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 10

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 11

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 12

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 13

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 14

공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 15

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 17

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

단계 18

항을 간단히 합니다.

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단계 18.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

단계 18.2

$2$ 와 $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

단계 18.3

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

단계 18.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

단계 18.5

식을 간단히 합니다.

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단계 18.5.1

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

단계 18.5.2

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$