미적분 예제

$y = \frac{2}{\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[6]{5 x^{2} - 1}$ 을(를) ${(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}]$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}}}$ 을 ${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2.2

${({(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{1}{6}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{6}}]$

단계 4.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ , $g (x) = 5 x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.2.2

$n = - \frac{1}{6}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (- \frac{1}{6} {(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.8

${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{{(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{6}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 (- \frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.9.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1])$

단계 4.10

$\frac{1}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.11

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1)}{6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.12

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$6 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1)}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}})} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

단계 4.14

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.15

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.17

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.18

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x + 0)$

단계 4.19

분수를 통분합니다.

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단계 4.19.1

$10 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} (10 x)$

단계 4.19.2

$10$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 10 \frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

단계 4.19.3

$- 10$ 와 $\frac{1}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}} x$

단계 4.19.4

$\frac{- 10}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 4.19.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} - 1)}^{\frac{7}{6}}}$