미적분 예제

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

단계 1

$\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ 을 $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = 2 + x^{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = 2 + x^{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 + x^{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $2 + x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 3.1.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 3.1.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 x^{3}$

단계 3.1.5

$0$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$4 x^{3}$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

단계 4.2

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{4}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

단계 7

먼저 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ 이므로 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = \ln (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\ln (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

단계 7.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}}$

단계 7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 $\ln (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $2 + x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$