미적분 예제

$y = \sqrt{9 x} \cos (x)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{9 x}$ 을(를) ${(9 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x))$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$9 x$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(9 (x))}^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$9 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.2.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [3^{1} x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{1}{2}} \cos (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x)]$

단계 4.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.7

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.8

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 4.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 4.12.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 4.14

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 4.15

$\cos (x)$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 4.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 4.17

간단히 합니다.

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단계 4.17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17.2

항을 묶습니다.

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단계 4.17.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 (x^{\frac{1}{2}} (\sin (x))) + 3 \frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.17.2.2

$3$ 와 $\frac{\cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{\frac{1}{2}} \sin (x) + \frac{3 \cos (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$