미적분 예제

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 6.2

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

단계 9

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

단계 10

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

단계 11

$z^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $z^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $z^{2}$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

단계 12.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

단계 12.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

단계 12.4

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 12.5

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 13

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

$2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$