미적분 예제

$y = 3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18)$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 t^{7} - 6 t^{4} + 8 t^{3} - 12^{t} + 18$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.2

$\frac{d}{d t} [3 t^{7}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{7}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.2.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.2.3

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$21 t^{6} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.3

$\frac{d}{d t} [- 6 t^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 6 t^{4}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ 입니다.

$21 t^{6} - 6 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 t^{6} - 6 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.3.3

$4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + \frac{d}{d t} [8 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.4

$\frac{d}{d t} [8 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8 t^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 8 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.4.3

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.5

$\frac{d}{d t} [- 12^{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 12^{t}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [12^{t}]$ 입니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - \frac{d}{d t} [12^{t}] + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.5.2

$a$ = $12$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + \frac{d}{d t} [18]$

단계 3.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

$18$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $18$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $18$ 입니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12) + 0$

단계 3.6.2

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = 21 t^{6} - 24 t^{3} + 24 t^{2} - 12^{t} \ln (12)$