미적분 예제

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

단계 1

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3.2.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

단계 4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

단계 5

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

단계 6

$\frac{1}{x}$ 와 $\sin (8 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (8 x)}{x}$