미적분 예제

$\int 5 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

단계 6

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

단계 7

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

단계 7.2

${\tan (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

단계 8

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (x)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

단계 9

간단히 합니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$5 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 12.2

$C + \tan (x) + C$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 13

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 14

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

단계 15

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

단계 15.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

단계 16

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

단계 17

먼저 $u = \tan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$u = \tan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$\tan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 17.1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x)$

단계 17.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

단계 18

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

단계 19

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

단계 20

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$5 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

단계 21.2

간단히 합니다.

$5 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

단계 22

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$5 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

단계 23

$- \tan (x)$ 를 $\tan (x)$ 에 더합니다.

$5 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

단계 24

항을 다시 정렬합니다.

$5 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$