미적분 예제

$lim_{x \to - 7} \frac{49 - x^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 7} 49 - x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $- 7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 7} 49 - lim_{x \to - 7} x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

$x$ 가 $- 7$ 에 가까워질 때 상수값 $49$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{49 - lim_{x \to - 7} x^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.1.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{49 - {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{49 - {(- 7)}^{2}}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{49 - 1 \cdot 49}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

$- 1$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{49 - 49}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.2.3.2

$49$ 에서 $49$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} x^{3} + 7 x^{2}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 가 $- 7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 7} x^{3} + lim_{x \to - 7} 7 x^{2}}$

단계 1.1.3.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + lim_{x \to - 7} 7 x^{2}}$

단계 1.1.3.3

$7$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + 7 lim_{x \to - 7} x^{2}}$

단계 1.1.3.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 7} x)}^{3} + 7 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 7$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.5.1

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{{(- 7)}^{3} + 7 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2}}$

단계 1.1.3.5.2

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{{(- 7)}^{3} + 7 {(- 7)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.6.1.1

$- 7$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{0}{- 343 + 7 {(- 7)}^{2}}$

단계 1.1.3.6.1.2

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0}{- 343 + 7 \cdot 49}$

단계 1.1.3.6.1.3

$7$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{- 343 + 343}$

단계 1.1.3.6.2

$- 343$ 를 $343$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.6.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.7

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{49 - x^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} = lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $49 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.3

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.4.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.5

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 7 x^{2}]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 7 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]}$

단계 1.3.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]}$

단계 1.3.8

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

단계 1.3.8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 7 (2 x)}$

단계 1.3.8.3

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 7} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 14 x}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 2 lim_{x \to - 7} \frac{x}{3 x^{2} + 14 x}$

단계 2.2

$x$ 가 $- 7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 3 x^{2} + 14 x}$

단계 2.3

$x$ 가 $- 7$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{lim_{x \to - 7} 3 x^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

단계 2.4

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 lim_{x \to - 7} x^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

단계 2.5

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + lim_{x \to - 7} 14 x}$

단계 2.6

$14$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 7} x}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 7$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- 2 \frac{- 7}{3 {(lim_{x \to - 7} x)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

단계 3.2

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- 2 \frac{- 7}{3 {(- 7)}^{2} + 14 lim_{x \to - 7} x}$

단계 3.3

$x$ 에 $- 7$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- 2 \frac{- 7}{3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 7$ 및 $3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 7$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{3 {(- 7)}^{2} + 14 \cdot - 7}$

단계 4.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$3 {(- 7)}^{2}$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7) + 14 \cdot - 7}$

단계 4.1.2.2

$14 \cdot - 7$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7) - 7 (- 2 \cdot - 7)}$

단계 4.1.2.3

$- 7 (3 \cdot - 7) - 7 (- 2 \cdot - 7)$ 에서 $- 7$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{- 7 (1)}{- 7 (3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7)}$

단계 4.1.2.4

공약수로 약분합니다.

$- 2 \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 (3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7)}$

단계 4.1.2.5

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{3 \cdot - 7 - 2 \cdot - 7}$

단계 4.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{- 21 - 2 \cdot - 7}$

단계 4.2.2

$- 2$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{- 21 + 14}$

단계 4.2.3

$- 21$ 를 $14$ 에 더합니다.

$- 2 (\frac{1}{- 7})$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 2 (- \frac{1}{7})$

단계 4.4

$- 2 (- \frac{1}{7})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{7})$

단계 4.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{7}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{7}$

소수 형태:

$0.\overline{285714}$