미적분 예제

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

단계 2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

단계 3

먼저 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$e^{- x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

단계 3.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.1.3

미분합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

단계 3.1.4

간단히 합니다.

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단계 3.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

단계 3.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

단계 3.2

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

단계 3.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = e^{- 1}$

단계 3.3.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

단계 3.4

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

단계 3.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

단계 3.6

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

단계 6.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$e^{- t^{2}}$ , $\frac{1}{e}$ 일 때, $- \frac{u_{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

단계 6.2.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$\frac{\frac{1}{e}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

단계 6.2.2.2

$\frac{1}{e}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

단계 6.2.2.3

$e$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

단계 7

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

극한값을 계산합니다.

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단계 7.1.1

$4$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

단계 7.1.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

단계 7.1.3

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

단계 7.2

지수 $- t^{2}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- t^{2}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

단계 7.3

극한값을 계산합니다.

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단계 7.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{1}{2 e}$ 의 극한을 구합니다.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

단계 7.3.2

답을 간단히 합니다.

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단계 7.3.2.1

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.2.1.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

단계 7.3.2.1.2

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

단계 7.3.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{2 e}$ 에 더합니다.

$4 \frac{1}{2 e}$

단계 7.3.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.2.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

단계 7.3.2.3.2

$2 e$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

단계 7.3.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

단계 7.3.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{e}$

단계 7.3.2.4

$2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{e}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{e}$

소수 형태:

$0.73575888 \dots$