미적분 예제

$- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- 2 e^{3 x} \sin (2 x) + 3 e^{3 x} \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x} \sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{3 x} \sin (2 x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.2

$f (x) = e^{3 x}$ , $g (x) = \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{3 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.10

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 (e^{3 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.11

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{3 x} \cdot 3)) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 2.12

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} \cos (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 e^{3 x} \cos (2 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x} \cos (2 x)]$

단계 3.2

$f (x) = e^{3 x}$ , $g (x) = \cos (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.3.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

단계 3.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ 은 $a^{u_{4}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.6.3

$u_{4}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

단계 3.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

단계 3.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)))$

단계 3.11

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{3 x} \cdot 3))$

단계 3.12

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 (e^{3 x} (2 \cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 (e^{3 x} (\cos (2 x))) - 2 (\sin (2 x) (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4.3.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 (\sin (2 x) (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (- 2 \sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4.3.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 (e^{3 x} (\sin (2 x))) + 3 (\cos (2 x) (3 e^{3 x}))$

단계 4.3.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 \sin (2 x) e^{3 x} - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 (\cos (2 x) (e^{3 x}))$

단계 4.3.5

$- 6 \sin (2 x) e^{3 x}$ 에서 $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ 을 뺍니다.

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단계 4.3.5.1

$\sin (2 x)$ 를 옮깁니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) - 6 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

단계 4.3.5.2

$- 6 e^{3 x} \sin (2 x)$ 에서 $6 e^{3 x} \sin (2 x)$ 을 뺍니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x) + 9 \cos (2 x) e^{3 x}$

단계 4.3.6

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ 를 $9 \cos (2 x) e^{3 x}$ 에 더합니다.

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단계 4.3.6.1

$\cos (2 x)$ 를 옮깁니다.

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x) + 9 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$

단계 4.3.6.2

$- 4 e^{3 x} \cos (2 x)$ 를 $9 e^{3 x} \cos (2 x)$ 에 더합니다.

$5 e^{3 x} \cos (2 x) - 12 e^{3 x} \sin (2 x)$