미적분 예제

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

단계 1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 을 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

단계 4.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ 를 전개합니다.

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단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.2.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.4

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.4.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.5

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

단계 4.3.1.6

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

단계 4.3.1.6.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

단계 4.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 6

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 7

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 9

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

단계 11

먼저 $u_{2} = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 11.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 12.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 13

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 14

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 15

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

단계 16

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 17.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

단계 17.2

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$