미적분 예제

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ 을 $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}]$

단계 2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (e^{x} + x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}]$

단계 4

$f (x) = \ln (e^{x} + x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $e^{x} + x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x} + x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{e^{x} + x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x] - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 8.3

분수를 통분합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$

단계 8.3.2

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ 와 $\frac{\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x)}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x}{e^{x} + x} (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{x}{e^{x} + x}$ 에 $e^{x} + 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x))}{x^{2}}$

단계 9.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln (e^{x} + x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} - \ln (e^{x} + x) \cdot \frac{e^{x} + x}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

단계 9.1.3

$- \ln (e^{x} + x)$ 와 $\frac{e^{x} + x}{e^{x} + x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (\frac{x (e^{x} + 1)}{e^{x} + x} + \frac{- \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x})}{x^{2}}$

단계 9.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x (e^{x} + 1) - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x \cdot 1 - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.1.5.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) (e^{x} + x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} \frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.1.6

$e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$ 와 $\frac{x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x}{e^{x} + x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.1.7

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - \ln (e^{x} + x) e^{x} - \ln (e^{x} + x) x)}{e^{x} + x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$\frac{\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}}{x^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

단계 9.2.2

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{e^{x} + x}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{(e^{x} + x) x^{2}}$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (e^{x} + x)}{x}} (x e^{x} + x - e^{x} \ln (e^{x} + x) - x \ln (e^{x} + x))}{x^{2} (e^{x} + x)}$