미적분 예제

$y = \frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$

단계 1

$\frac{1}{8}$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $\frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$ 의 미분은 $\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$ 입니다.

$\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$

단계 2

$f (w) = w^{5}$ , $g (w) = w^{3} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w^{3} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

단계 2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{8} (5 u^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $w^{3} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (5 {(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$5$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{8} ({(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

${(w^{3} + 4)}^{4}$ 와 $\frac{5}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(w^{3} + 4)}^{4} \cdot 5}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

단계 3.2.2

${(w^{3} + 4)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $w^{3} + 4$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

단계 3.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

단계 3.5

$4$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + 0)$

단계 3.6

분수를 통분합니다.

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단계 3.6.1

$3 w^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2})$

단계 3.6.2

$3$ 와 $\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (5 {(w^{3} + 4)}^{4})}{8} w^{2}$

단계 3.6.3

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} w^{2}$

단계 3.6.4

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ 와 $w^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4} w^{2}}{8}$

단계 4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1

이항정리 이용

$\frac{15 ({(w^{3})}^{4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

${(w^{3})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{15 (w^{3 \cdot 4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.2

${(w^{3})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{3 \cdot 3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{9} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.4

${(w^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{3 \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.5

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 16 + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.6

$16$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.7

지수를 더하여 $4$ 에 $4^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.7.1

$4^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.7.2

$4^{3}$ 에 $4$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.7.2.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4^{1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3 + 1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.7.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{4} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.8

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

단계 4.2.9

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 256) w^{2}}{8}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(15 w^{12} + 15 (16 w^{9}) + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$16$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

단계 4.4.2

$96$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

단계 4.4.3

$256$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

단계 4.4.4

$15$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 3840) w^{2}}{8}$

단계 4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 w^{12} w^{2} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6

간단히 합니다.

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단계 4.6.1

지수를 더하여 $w^{12}$ 에 $w^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.1.1

$w^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 (w^{2} w^{12}) + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 w^{2 + 12} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.1.3

$2$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.2

지수를 더하여 $w^{9}$ 에 $w^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.2.1

$w^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 (w^{2} w^{9}) + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{2 + 9} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.2.3

$2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.3

지수를 더하여 $w^{6}$ 에 $w^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.3.1

$w^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 (w^{2} w^{6}) + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{2 + 6} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.3.3

$2$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.4

지수를 더하여 $w^{3}$ 에 $w^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.4.1

$w^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 (w^{2} w^{3}) + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{2 + 3} + 3840 w^{2}}{8}$

단계 4.6.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{5} + 3840 w^{2}}{8}$