미적분 예제

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{4} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

단계 1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + 3$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x^{3} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

단계 2.3.2

$- 12 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{4} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

단계 4.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

단계 4.2

$g (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 x^{3} + 3$ 입니다.

$- 4 x^{3} + 3$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 x^{3} + 3 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- 4 x^{3} = - 3$

단계 5.3

$- 4 x^{3} = - 3$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 4 x^{3} = - 3$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{3} = \frac{3}{4}$

단계 5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

단계 5.5

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

단계 5.5.2

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 5.5.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 5.5.3.2

$\sqrt[3]{4}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

단계 5.5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

단계 5.5.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

단계 5.5.3.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 을 $4$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{4}$ 을(를) $4^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 5.5.3.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 5.5.3.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.5.3.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.5.3.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

단계 5.5.3.5.5

지수값을 계산합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

단계 5.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

단계 5.5.4.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

단계 5.5.4.3

$16$ 을 $2^{3} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

단계 5.5.4.3.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

단계 5.5.4.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

단계 5.5.4.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.5.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

단계 5.5.4.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

단계 5.5.5

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.5.1

$2 \sqrt[3]{6}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

단계 5.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

단계 5.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

단계 5.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

단계 8

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

$\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

${\sqrt[3]{6}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{6^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

단계 9.2.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

단계 9.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 9.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

단계 9.3.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

단계 9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 \sqrt[3]{36}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 을 대입합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

$\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.1

${\sqrt[3]{6}}^{4}$ 을 $\sqrt[3]{6^{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.2.2

$6$ 를 $4$ 승 합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.2.3

$1296$ 을 $6^{3} \cdot 6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.3.1

$1296$ 에서 $216$ 를 인수분해합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.2.3.2

$216$ 을 $6^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.2.4

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.4

$6$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

$6 \sqrt[3]{6}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

단계 11.2.1.5

$3$ 와 $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ 을 묶습니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

단계 11.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

단계 11.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.3.1

$\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

단계 11.2.3.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

단계 11.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

단계 11.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

단계 11.2.5.2

$- 3 \sqrt[3]{6}$ 를 $12 \sqrt[3]{6}$ 에 더합니다.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

단계 11.2.6

최종 답은 $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ 입니다.

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

단계 12

$g (x) = - x^{4} + 3 x$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ 은 극댓값임

단계 13