미적분 예제

$y = \sin (6 x) \cos^{2} (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (6 x) \cos^{2} (x))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \sin (6 x)$ , $g (x) = \cos^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin (6 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\sin (6 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.3

$\sin (6 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot \sin (6 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 \sin (6 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

단계 3.6

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.6.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

단계 3.7

미분합니다.

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단계 3.7.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

단계 3.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (6 x) \cdot 6$

단계 3.7.3.2

$\cos^{2} (x) \cos (6 x)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- 2 \sin (6 x) \cos (x) \sin (x) + 6 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (6 x))$

단계 3.7.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 2 \cos (x) \sin (x) \sin (6 x) + 6 \cos^{2} (x) \cos (6 x)$