미적분 예제

$y = x^{3} \cdot \cos (x^{3})$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2})$

단계 6

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{5} \sin (x^{3}) + 3 x^{2} \cos (x^{3})$