미적분 예제

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

단계 5

먼저 $u = 4 x - 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 4 x - 6$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$4 x - 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$4 + 0$

단계 5.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{4}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 8.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

단계 10

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

단계 12.2.2

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

단계 12.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

단계 12.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

단계 12.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

단계 12.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $4 x - 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$