미적분 예제

$\frac{\ln (\sqrt{x})}{x}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x}]$

단계 2

$f (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 14

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 15

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 15.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 15.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 15.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 15.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{x^{0}}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 16

$x^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 17

$\frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 18

항을 간단히 합니다.

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단계 18.1

조합합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

단계 18.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

단계 18.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 + 2 (- \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

단계 18.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])}{2 x^{2}}$

단계 19

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{2 x^{2}}$

단계 20

항을 간단히 합니다.

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단계 20.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{2}}$

단계 20.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 20.2.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1 - \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2 x^{2}}$

단계 20.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 20.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

단계 20.2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 20.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2 x^{2}}$

단계 20.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - \ln (x^{1})}{2 x^{2}}$

단계 20.2.3

간단히 합니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{2 x^{2}}$