미적분 예제

$S = \frac{\sqrt{h w}}{60}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{h w}$ 을(를) ${(h w)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d h} [\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}]$

단계 1.2

$\frac{1}{60}$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $\frac{{(h w)}^{\frac{1}{2}}}{60}$ 의 미분은 $\frac{1}{60} \frac{d}{d h} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{60} \frac{d}{d h} [{(h w)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ , $g (h) = h w$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $h w$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{60} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [h w])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $h w$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2} {(h w)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{60} (\frac{{(h w)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(h w)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{60} (\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h w])$

단계 7.4

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{60}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(h w)}^{\frac{1}{2}} \cdot 60} \frac{d}{d h} [h w]$

단계 7.5

$60$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h w]$

단계 8

$w$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $h w$ 의 미분은 $w \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} (w \frac{d}{d h} [h])$

단계 9

$w$ 와 $\frac{1}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [h]$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 11

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{w}{120 {(h w)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$h w$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{w}{120 (h^{\frac{1}{2}} w^{\frac{1}{2}})}$

단계 12.2

항을 묶습니다.

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단계 12.2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $w^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{w \cdot w^{- \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2.2

지수를 더하여 $w$ 에 $w^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.2.1

$w$ 에 $w^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.2.1.1

$w$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{w^{1} w^{- \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{w^{1 - \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{w^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{w^{\frac{2 - 1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$

단계 12.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{w^{\frac{1}{2}}}{120 h^{\frac{1}{2}}}$