미적분 예제

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 - \cos^{2} (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - \cos^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

단계 2.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 2.1.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 2.1.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 2.1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 2.1.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

단계 2.1.3.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

단계 2.1.3.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

$0$ 를 $2 \cos (x) \sin (x)$ 에 더합니다.

$2 \cos (x) \sin (x)$

단계 2.1.4.2

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

단계 2.1.4.3

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

단계 2.1.4.4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x)$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

단계 3

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- 6}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ 가 됩니다.

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

간단히 합니다.

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단계 4.1.1

${u_{2}}^{- 5}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

단계 4.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${u_{2}}^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

단계 4.2

간단히 합니다.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

단계 4.3.2

$- 5$ 와 $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

단계 4.3.3

$- 5$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.1

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

단계 4.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.3.2.1

$5 {u_{2}}^{5}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

단계 4.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

단계 4.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

단계 4.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

단계 5

$u_{2}$ 를 모두 $3 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$