미적분 예제

$- 1 - x^{3} + x y + 3 y = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (- 1 - x^{3} + x y + 3 y) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $- 1 - x^{3} + x y + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.1.2

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - 3 x^{2} + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 x^{2} + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.3.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 3 x^{2} + x y' + y + \frac{d}{d x} [3 y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [3 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$0 - 3 x^{2} + x y' + y + 3 \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - 3 x^{2} + x y' + y + 3 y'$

단계 2.5

$0$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2} + x y' + y + 3 y'$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 3 x^{2} + x y' + y + 3 y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에 $3 x^{2}$ 를 더합니다.

$x y' + y + 3 y' = 3 x^{2}$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' + 3 y' = 3 x^{2} - y$

단계 5.2

$x y' + 3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x + 3 y' = 3 x^{2} - y$

단계 5.2.2

$3 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x + y' \cdot 3 = 3 x^{2} - y$

단계 5.2.3

$y' x + y' \cdot 3$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x + 3) = 3 x^{2} - y$

단계 5.3

$y' (x + 3) = 3 x^{2} - y$ 의 각 항을 $x + 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$y' (x + 3) = 3 x^{2} - y$ 의 각 항을 $x + 3$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{3 x^{2}}{x + 3} + \frac{- y}{x + 3}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{3 x^{2}}{x + 3} + \frac{- y}{x + 3}$

단계 5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{x + 3} + \frac{- y}{x + 3}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{x + 3} - \frac{y}{x + 3}$

단계 5.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x + 3}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x + 3}$