미적분 예제

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

단계 1

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 6

먼저 $u = 5 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = 5 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$5 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

단계 6.1.2

미분합니다.

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단계 6.1.2.1

합의 법칙에 의해 $5 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 6.1.2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 6.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 6.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 7.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 7.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 11.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 12

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 13

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 14

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

단계 15

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 16

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 16.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 16.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 16.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

단계 17

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

단계 18.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

단계 18.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

단계 18.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

단계 19

$u$ 를 모두 $5 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

단계 20

답은 함수 $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$