미적분 예제

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

단계 1.1.4.2

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ 입니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

단계 2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

단계 2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.4

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 의 각 항에 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ 의 각 항에 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.3

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

단계 2.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

단계 2.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

단계 2.5.2

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나눕니다.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

단계 2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

단계 2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1

$2$ 및 $- 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

단계 2.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.3.1.2.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

단계 2.5.2.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

단계 2.5.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $3$ 승합니다.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.1.1.2

간단히 합니다.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

${(- \frac{1}{3})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1.1.1

$- \frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

단계 2.5.4.2.1.1.2

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

단계 2.5.4.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

단계 2.5.4.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

단계 2.5.4.2.1.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = - \frac{1}{27}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

단계 3.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 x^{1} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$27 x = 0^{3}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 x = 0$

단계 3.3.3

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$27 x = 0$ 의 각 항을 $27$ 로 나눕니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{27}$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

$0$ 을 $27$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - \frac{1}{27}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{1}{27}$ 를 대입합니다.

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- \frac{1}{27}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.3

$\frac{1}{27}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.5

$27$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.6

$\frac{1}{729}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.7

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.8

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.9

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.9.1

$729$ 을 $9^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.9.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.10

$2 (- \frac{1}{27})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

단계 4.1.2.1.10.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{27}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

단계 4.1.2.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

단계 4.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{9}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

단계 4.1.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $27$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.3.1

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

단계 4.1.2.3.2

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

단계 4.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 - 2}{27}$

단계 4.1.2.5

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{27}$

단계 4.2

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

단계 4.2.2.1.2

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

단계 4.2.2.1.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$0 + 2 (0)$

단계 4.2.2.1.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0$

단계 4.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

단계 5