미적분 예제

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$x^{5}$ 을 ${(x^{2})}^{2} x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1

$x^{4}$ 로 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

단계 1.1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

단계 3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

단계 3.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ 을(를) ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3

$u$ 를 모두 $x + x^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

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단계 5.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 5.3.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 10.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{5}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

단계 13

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 14

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 15

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 17

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 17.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 18

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.2

$1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 19.5

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.5.1

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

단계 19.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$