미적분 예제

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

단계 1

${(4 - x^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(4 - x^{2})}^{2}$ 을 $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

단계 1.5

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

단계 1.6

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

단계 1.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

단계 1.8

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

단계 1.9

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

단계 1.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

단계 1.11

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

단계 1.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

단계 1.13

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

단계 1.14

$- 4 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

단계 1.15

$- 8 x^{2}$ 와 $x^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

단계 1.16

$16$ 를 옮깁니다.

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 4

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 5

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ 와 $16 x]_{0}^{2}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

단계 9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ 값을 계산합니다.

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

단계 9.2.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.2

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $32$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.4

$32$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.6.1

$32$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.6.2

$32$ 를 $160$ 에 더합니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.8

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.8.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.8.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.8.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.9

$16$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.10

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.12

$\frac{192}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.13

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

단계 9.2.3.14

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

단계 9.2.3.15

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.15.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

단계 9.2.3.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 9.2.3.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

단계 9.2.3.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

단계 9.2.3.15.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

단계 9.2.3.16

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

단계 9.2.3.17

$\frac{8}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

단계 9.2.3.18

$- 8$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

단계 9.2.3.19

$- 8$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

단계 9.2.3.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

단계 9.2.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{192}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

단계 9.2.3.22

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{64}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 9.2.3.23

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.23.1

$\frac{192}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 9.2.3.23.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

단계 9.2.3.23.3

$\frac{64}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

단계 9.2.3.23.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

단계 9.2.3.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

단계 9.2.3.25

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.25.1

$192$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

단계 9.2.3.25.2

$- 64$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$π \frac{576 - 320}{15}$

단계 9.2.3.25.3

$576$ 에서 $320$ 을 뺍니다.

$π \frac{256}{15}$

단계 9.2.3.26

$π$ 와 $\frac{256}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 256}{15}$

단계 9.2.3.27

$π$ 의 왼쪽으로 $256$ 이동하기

$\frac{256 π}{15}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{256 π}{15}$

소수 형태:

$53.61651462 \dots$

단계 11