미적분 예제

${(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

단계 4

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 4.5

$\sin (x)$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 4.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 4.7

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 4.8

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 4.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

단계 4.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

단계 4.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

단계 4.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

단계 4.13

$\sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

단계 7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

단계 8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

단계 9

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

단계 11

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

단계 13

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

단계 14

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 14.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 14.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 14.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 15

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 17

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 18

간단히 합니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 19

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

$\sin (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 20.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

단계 20.4

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 20.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 21

항을 다시 정렬합니다.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

단계 22

답은 함수 $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$