미적분 예제

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

단계 1

${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

단계 1.2

$5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

단계 2

$f (x) = x^{45}$ , $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

단계 2.2

$n = 45$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (x^{3} + 7)$ 로 바꿉니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{3} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

단계 3.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

단계 4.4.2

$3$ 에 $45$ 을 곱합니다.

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

단계 4.4.3

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$