미적분 예제

$y = \frac{\tan (2 x)}{1 - \cot (2 x)}$

단계 1

$f (x) = \tan (2 x)$ , $g (x) = 1 - \cot (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 2.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.3.2

$(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot ((1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 - \cot (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.6

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cot (2 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$ 입니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.8

곱합니다.

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단계 3.8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + 1 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 3.8.2

$\tan (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 4

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 4.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 5.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cot (2 x))) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \tan (2 x) \csc^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 \sec^{2} (2 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$