미적분 예제

$f (x) = \sin (a x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

단계 1.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

단계 1.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (a x) a$

단계 1.2.3.2

$\cos (a x) a$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = a \cos (a x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a \cos (a x)$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ 입니다.

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

단계 2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

단계 2.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 2.3

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.4

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.5

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

단계 2.9

식을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a^{2} (- \sin (a x))$

단계 2.9.2

$a^{2} (- \sin (a x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$- a^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- a^{2} \sin (a x)$ 의 미분은 $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ 입니다.

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 3.3

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

단계 3.8

$\cos (a x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$- a^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- a^{3} \cos (a x)$ 의 미분은 $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ 입니다.

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

단계 4.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.3.2

$a^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

단계 4.3.3

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4

지수를 더하여 $a^{3}$ 에 $a$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$a$ 를 옮깁니다.

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4.2

$a$ 에 $a^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

단계 4.6

$\sin (a x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $a^{4} \sin (a x)$ 입니다.

$a^{4} \sin (a x)$