미적분 예제

$\int \sin^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin^{3} (u_{1})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{\sin^{3} (u_{1})}{2}$ 와 $\cos^{2} (u_{1})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\sin^{2} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$\cos (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

단계 6.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1})$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int (- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7

$(- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int - 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1 {u_{2}}^{2}$ 을 $- {u_{2}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 8.2

지수를 더하여 ${u_{2}}^{2}$ 에 ${u_{2}}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

단계 8.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 10

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 11

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 12

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{4}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

단계 13.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 ${u_{2}}^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 14.1

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \cos^{5} (u_{1})) + C$

단계 14.2

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (2 x)) + C$