미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 1$

단계 1.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 - 1$

단계 1.5

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$u^{\frac{4}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{0}^{2} {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

단계 2.2

${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

단계 2.2.2

$\frac{4}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

단계 2.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{2} u^{\frac{- 4}{3}} d u$

단계 2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{2} u^{- \frac{4}{3}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ 가 됩니다.

$- 3 u^{- \frac{1}{3}}]_{0}^{2}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ , $0$ 일 때, $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ 값을 계산합니다.

$(- 3 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}) + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

단계 4.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

단계 4.2.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.2.5

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

단계 4.2.6

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

단계 4.2.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

단계 4.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{1}}$

단계 4.2.8

지수값을 계산합니다.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

단계 4.2.9

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

단계 4.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

단계 5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음