미적분 예제

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

단계 2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

곱합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2.2

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

단계 5.4

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 6.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

단계 6.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$