미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

단계 1

$t$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

단계 2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

단계 3

먼저 $u = x + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.1.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u = x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 4$

단계 3.3

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 3.4

$u = x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = t + 4$

단계 3.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

단계 3.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 가 됩니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$u^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$t + 4$ , $4$ 일 때, $- \frac{1}{3 u^{3}}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

단계 7.2.2

$3$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

단계 8

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

극한값을 계산합니다.

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단계 8.1.1

$5$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

단계 8.1.2

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

단계 8.1.3

$\frac{1}{3}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

단계 8.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

단계 8.3

극한값을 계산합니다.

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단계 8.3.1

$t$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{1}{192}$ 의 극한을 구합니다.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

단계 8.3.2

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.2.1.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

단계 8.3.2.1.2

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$5 (0 + \frac{1}{192})$

단계 8.3.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{192}$ 에 더합니다.

$5 (\frac{1}{192})$

단계 8.3.2.3

$5$ 와 $\frac{1}{192}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{192}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5}{192}$

소수 형태:

$0.026041\overline{6}$