미적분 예제

$90 + \frac{4}{x + 1}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $90 + \frac{4}{x + 1}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [90] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [90] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

단계 1.2

$90$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $90$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $90$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x + 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4}{x + 1}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$ 입니다.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 2.2

$\frac{1}{x + 1}$ 을 ${(x + 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 2.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} (1 + 0))$

단계 2.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2} \cdot 1)$

단계 2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 4 (- {(x + 1)}^{- 2})$

단계 2.9

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 - 4 {(x + 1)}^{- 2}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 4}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$0$ 에서 $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}$