미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y^{3} - 2 y^{2} - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

단계 1.1.2

$- 2 y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

단계 1.1.3

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

단계 1.1.4

$y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

단계 1.1.5

$y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

단계 1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

단계 2

$y^{2} - 2 y - 1$ 을 $y$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

단계 2.2

피제수 $y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

단계 2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

단계 2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

단계 2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

단계 2.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

단계 2.7

피제수 $- 2 y$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

단계 2.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

단계 2.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 y + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

단계 2.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

단계 2.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

단계 6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

단계 7

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ 와 $- 2 y]_{1}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

단계 8.2.2

$3$ , $1$ 일 때, $\ln (| y |)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.3

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 6$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.5

$- 6$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.7.1

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.7.2

$9$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.10

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.11

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.13

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.15.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.15.2

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.17

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.18

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.19

$- \frac{3}{2}$ 를 $\frac{3}{2}$ 에 더합니다.

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 8.2.3.20

$0$ 에서 $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ 을 뺍니다.

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

단계 8.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $3$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

단계 8.4.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \ln (\frac{3}{1})$

단계 8.4.3

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \ln (3)$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \ln (3)$

소수 형태:

$- 1.09861228 \dots$

단계 10