미적분 예제

$\frac{x}{\ln (x)}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.2.2

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.4

항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.4.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

단계 1.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = \ln (x) - 1$ , $g (x) = \ln^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

단계 2.2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

${(\ln^{2} (x))}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $\ln (x) - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.2.1

$\frac{1}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.4.2.2

$\ln^{2} (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.5

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

단계 2.6

항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

조합합니다.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.6.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.6.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.7

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.7.3

$u$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.9

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10

항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.3.1

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.4

$x$ 와 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.10.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.5.2

$2 \ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.10.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11

간단히 합니다.

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단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.11.2.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11.2.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11.2.3

$- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11.2.3.2

$\ln (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

단계 2.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$