미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$\frac{3}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{4} x^{- 2}$ 의 미분은 $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.3

$- 2$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.5

$\frac{- 6}{4}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.7

$- 6$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

단계 1.4.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- \frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{2 x^{3}}$ 의 미분은 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 2.4.2

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 2.4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

단계 2.4.5

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

단계 2.4.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

단계 2.4.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

단계 2.4.7

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

단계 2.4.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

단계 2.4.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

단계 2.4.8

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

단계 2.4.9

$3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

단계 2.4.10

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

단계 2.4.11

$\frac{9}{2}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

단계 2.4.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.3.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$\frac{9}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9}{2 x^{4}}$ 의 미분은 $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.4.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 3.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 3.4.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 3.4.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 3.4.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 3.4.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 3.4.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

단계 3.4.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

단계 3.4.8

$- 4$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

단계 3.4.9

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

단계 3.4.10

$\frac{- 36}{2}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

단계 3.4.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

단계 3.4.12

$- 36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.1

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

단계 3.4.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.12.2.1

$2 x^{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

단계 3.4.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

단계 3.4.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

단계 3.4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

단계 4

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 3차 도함수는 $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ 입니다.

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$