미적분 예제

$y = - 2 \cos (x) + 5$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- 2 \cos (x) + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \cos (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.2.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$2 \sin (x) + 0$

단계 1.3.2

$2 \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 2 \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$2 \sin (x) = 0$

단계 4

$2 \sin (x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2 \sin (x) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 4.2.1.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = 0$

단계 5

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 8

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 9

방정식 $x = 0$ 의 해.

$x = 0, π$

단계 10

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (0)$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 12

이계도함수가 양수이므로 $x = 0$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극소값입니다.

단계 13

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = - 2 \cos (0) + 5$

단계 13.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (0) = - 2 \cdot 1 + 5$

단계 13.2.1.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (0) = - 2 + 5$

단계 13.2.2

$- 2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (0) = 3$

단계 13.2.3

최종 답은 $3$ 입니다.

$y = 3$

단계 14

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 \cos (π)$

단계 15

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 (- \cos (0))$

단계 15.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (- 1 \cdot 1)$

단계 15.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cdot - 1$

단계 15.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 16

이계도함수가 음수이므로 $x = π$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = π$ 은 극대값입니다

단계 17

$x = π$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

수식에서 변수 $x$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$f (π) = - 2 \cos (π) + 5$

단계 17.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (π) = - 2 (- \cos (0)) + 5$

단계 17.2.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (π) = - 2 (- 1 \cdot 1) + 5$

단계 17.2.1.3

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (π) = - 2 \cdot - 1 + 5$

단계 17.2.1.3.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (π) = 2 + 5$

단계 17.2.2

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (π) = 7$

단계 17.2.3

최종 답은 $7$ 입니다.

$y = 7$

단계 18

$f (x) = - 2 \cos (x) + 5$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 3)$ 은 극솟값임

$(π, 7)$ 은 극댓값임

단계 19