미적분 예제

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

단계 1

$π$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $π$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

단계 2

먼저 $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{4}{5} d x$ 이므로 $- \frac{5}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\frac{20 - 4 x}{5}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

단계 2.1.2

$20 - 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

단계 2.1.2.2

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

단계 2.1.2.3

$4 (5) + 4 (- x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

단계 2.1.3

$\frac{4}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 (5 - x)}{5}$ 의 미분은 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ 입니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

단계 2.1.4

합의 법칙에 의해 $5 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.1.5

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.1.6

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.1.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.1.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

단계 2.1.9.2

$\frac{4}{5}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

단계 2.1.9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.3.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4}{5}$

단계 2.1.9.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{5}$

단계 2.2

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$20 - 4 \cdot 0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$20$ 을 $- 1 (- 20)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

단계 2.3.1.2

$- 4 \cdot 0$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

단계 2.3.1.3

$- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

단계 2.3.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

단계 2.3.1.5

$- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

단계 2.3.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.6.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

단계 2.3.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

단계 2.3.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

단계 2.3.1.6.4

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

단계 2.3.2

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ 을 $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

단계 2.3.3

$0$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

단계 2.3.4

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = - - 4$

단계 2.3.5

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 2.4

$u = \frac{20 - 4 x}{5}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$20 - 4 \cdot 5$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$20$ 을 $- 1 (- 20)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 5$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

단계 2.5.1.3

$- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

단계 2.5.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

단계 2.5.1.5

$- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

단계 2.5.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.6.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

단계 2.5.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

단계 2.5.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

단계 2.5.1.6.4

$- 1 (4 - 4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

단계 2.5.2

$- 1 (4 - 4)$ 을 $- (4 - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = - (4 - 4)$

단계 2.5.3

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 0$

단계 2.5.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

단계 3.2

$\frac{4}{5}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

단계 3.3

$\frac{5}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

단계 3.4

$\frac{5}{4}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

단계 5

$\frac{5}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$π$ 와 $\frac{5}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

단계 6.2

$π$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$0$ , $4$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

단계 8.2.3

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

단계 8.2.4

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

단계 8.2.5

$- 64$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

단계 8.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

단계 8.2.7

$0$ 에서 $\frac{64}{3}$ 을 뺍니다.

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

단계 8.2.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

단계 8.2.9

$\frac{5 π}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

단계 8.2.10

$\frac{5 π}{4}$ 에 $\frac{64}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

단계 8.2.11

$64$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

단계 8.2.12

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{320 π}{12}$

단계 8.2.13

$320$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.13.1

$320 π$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (80 π)}{12}$

단계 8.2.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.13.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

단계 8.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

단계 8.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{80 π}{3}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{80 π}{3}$

소수 형태:

$83.77580409 \dots$

단계 10