미적분 예제

$\int 5 x^{6} \ln (2 x) d x$

단계 1

$u = \ln (2 x)$ 이고 $d v = 5 x^{6}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (2 x) (\frac{5}{7} x^{7}) - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{5}{7}$ 와 $x^{7}$ 을 묶습니다.

$\ln (2 x) \frac{5 x^{7}}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\ln (2 x)$ 와 $\frac{5 x^{7}}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

단계 3

$\frac{5}{7}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{7} \frac{1}{x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{7}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{7}}{x} d x)$

단계 4.2

$x^{7}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$x^{7}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x} d x)$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} d x)$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

단계 4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{6}}{1} d x)$

단계 4.2.2.5

$x^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{6} d x)$

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} \int x^{6} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} x^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ 을 $\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{5}{7}$ 와 $\ln (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \ln (2 x)}{7} x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

단계 6.2.2

$\frac{5 \ln (2 x)}{7}$ 와 $x^{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

단계 6.2.3

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{5}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7 \cdot 7} x^{7} + C$

단계 6.2.4

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$