미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 을(를) ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.1.3

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.5.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.6.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.11

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.12

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.14

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.15

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.15.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.15.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.15.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.20

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.21

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.21.1

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.21.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.21.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.23

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.25

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.25.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.25.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.25.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.25.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.26

${(x^{2} + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.27

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.28

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.29

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.30

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

단계 1.1.31

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.31.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.31.1.1

$x^{2} + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

단계 1.1.31.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 1.1.31.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 1.1.31.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 1.1.31.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음