미적분 예제

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 1.2

$u = 1 - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 - 0$

단계 1.3

$1$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$- 1$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 - 0.5$

단계 1.5.2

$1$ 에서 $0.5$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0.5$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

단계 2

$- (- u + 1) u^{3}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3.2

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3.3

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1

$u$ 에 $u^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3.3.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

단계 3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

단계 3.5

$- 1 u^{3}$ 을 $- u^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 와 $u^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$0.5$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{5} u^{5}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

단계 9.2

$0.5$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$0.5$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.2

$\frac{1}{5}$ 와 $0.03125$ 을 묶습니다.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.6

$0.03125$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.8

$0.5$ 를 $4$ 승 합니다.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

단계 9.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

단계 9.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

단계 9.3.11

$0.0625$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

단계 9.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

단계 9.3.13

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

단계 9.3.14

$\frac{0.9375}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

단계 9.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{0.96875}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

단계 9.3.16

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{0.9375}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.17

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $20$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 9.3.17.1

$\frac{0.96875}{5}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.17.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

단계 9.3.17.3

$\frac{0.9375}{4}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

단계 9.3.17.4

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

단계 9.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

단계 9.3.19

$- 0.96875$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

단계 9.3.20

$0.9375$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

단계 9.3.21

$- 3.875$ 를 $4.6875$ 에 더합니다.

$\frac{0.8125}{20}$

단계 10

$0.8125$ 을 $20$ 로 나눕니다.

$0.040625$

단계 11